2024年上学期 易伟艳 条件概率与全概率公式阐述

条件概率与全概率公式教案

一、教学目标

1、掌握求条件概率的两种方法；

2、能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；

3、理解全概率公式的形式并会利用全概率公式计算概率;

4、了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.

二、教学重难点

重点：运用条件概率的公式解决简单的问题，会用全概率公式计算概率.

难点：条件概率的概念和全概率公式

三、教学过程

1．条件概率

（一）定义

一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．

注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．

（二）性质

（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．

（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．

（3）如果与互斥，则．

注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；

（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．

（三）计算方法

（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．

（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．

2．相互独立与条件概率的关系

（一）相互独立事件的概念及性质

（1）相互独立事件的概念

对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．

由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．

（2）概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．

（3）相互独立事件的性质

如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．

（4）两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．

（二）事件的独立性

（1）事件与相互独立的充要条件是．

（2）当时，与独立的充要条件是．

（3）如果，与独立，则成立．

考点一 条件概率

1、一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.

解:方法一(定义法)

设Ai={第i只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A2|A1).因为P(A1)=,P(A1A2)=,

所以P(A2|A1)=.

方法二(直接法)

因为事件A1已发生(已知),故我们只研究事件A2发生便可,在A1发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=.

2、从、、、、、、、、中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的是奇数”，为“第二次取到的是3的整数倍”，求在的条件下发生的概率.

3．全概率公式

（一）全概率公式（由因求果）

（1）；

（2）定理 若样本空间中的事件，，…，满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，.

则对中的任意事件，都有，且

.

证明：如下图所示， 因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.

所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

  即得到全概率公式：

注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.

（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

合理选择，易求.

考点二 全概率公式

3、某小组有名射手，其中一、二、三、四级射手分别有、、、名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为、、、，今随机选一人参加比赛，求该小组在比赛中射中目标的概率．

【解析】设B表示“该小组比赛中射中目标”，

Ai(i=1，2，3，4)表示“选i级射手参加比赛”，

则P(B)==×0.85+×0.64+×0.45+×0.32=0.527 5.

答案：0.527 5

4、两批相同的产品各有12件和10件，每批产品中各有1件废品，现在先从第1批产品中任取1件放入第2批中，然后从第2批中任取1件，则从第2批取到废品的概率为________. 

【解析】设A表示“从第2批取到废品”，

B表示“从第1批中取到废品”，有P(B)=，

P(A|B)=，P(A|)=，

所以P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)

答案：

（二）贝叶斯公式（执果求因）

(1)一般地，当且时，有

(2)定理 若样本空间中的事件满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，.

则对中的任意概率非零的事件，都有，

且

注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.

（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．

考点三 贝叶斯公式

5、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.

(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？

【解析】(1)设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1，2，3)表示

“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.则B1，B2，B3是样本空间的

一个划分，且P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，

P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03.

由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.

(2)该元件来自制造厂1的概率为：P(B1|A)

该元件来自制造厂2的概率为：

P(B2|A)=         

该元件来自制造厂3的概率为：

P(B3|A)=

四、教学反思

本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标。进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。

五、评课建议

赵亮老师：准备充分细致，练习时间、空间不足，要给学生足够的练，讲得太多了。

梁庄贵老师：对于概率题一定要给学生足够的读题时间，讲课的语速过快。

吴国波老师：内容难、多，要课堂热闹、有互动效果，讲精不讲多。

龙永标老师:例题、练习的比较好，但是太多了，可否减少两道题，讲解清晰，板书不要用黄色，有点

看不清楚，条件概率的正确读法一定按照书上的来读。

吴泽勋老师：成长的比较快，但选取的内容有点多，联系出来让学生充分的思考（且自己一定要将每个题的多种做法都要考虑到），PPT上的解析可以有一两道题让学生看一下完整的板书。

向求良老师：选取的内容不恰当，每个学期应该准备几堂能够上、好上的公开课，对知识的理解、目标的把握要准确

6、上课照片