2015年高考湖南数学（理科）试题

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理科）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 =1+i（i为虚数单位），则复数z=

       A.1+i            B.1-i                    C.-1+i           D.-1-i

2、设A、B是两个集合，则”A B=A”是”A B”的

   A.充分不必要条件           B.必要不充分条件

   C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件

 

3.执行如图1所示的程序框图.如果输入n=3，则输出的$=

A.     B.

C．     D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（4）若变量x,y满足约束条件 则z=3 -y的最小值为

（A）-7   （B）-1    （C）1   （D）2

 （5）设函数f(x)= - ，则f(x)是

（A）奇函数，且在（0，1）上是增函数 

（B）奇函数，且在（0，1）上是减函数 

（C）偶函数，且在（0，1）上是增函数 

（D）偶函数，且在（0，1）上是减函数 

（6）已知（ ）⁵ 的展开式中含  的项的系数为30，则a=

（A）    （B）-      （C）6   （D）-6

（7）在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为

（A）2386   （B）2718    （C）3413   （D）4772

附：若X~N( )，则

P（ ）=0.6826

P（ ）=0.9544

（8）.已知点A，B，C在圆x²+y²=1上运动，且AB BC，若点的坐标为（2,0），则| + + |的最大值为

A.6   B.7   C.8    D.9

（9）.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足 的 ； ；有 ，则 =

A.         B.           C.                D.

10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积.）

A.        B.        C.       D.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11. （x-1）dx=_________.

12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示

 

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数为________.

13.设 为等比数列 前n项和，若 =1，且3 ，2 ， 成等差数列，则 =_________.­­­­­­­­­

14.设F是双曲线C= =1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________

15.已知函数f(x)= 若存在实数b。使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的取值范围是_______.

 

 

 三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

本小题设有I、II、III三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分。

I（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲

如图5，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的重点分别是M、 N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：

（I）∠MEN+∠NOM=180⁰；

（II）FE^.FN=FM^.FO

Ⅱ. （本题满分6分）选修4-4；坐标系与参数方程

已知直线l： （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ

（ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（II）设点M的直角坐标为（5， ），直线l与曲线C的交点为A、 B，求|MA|^.|MB|的值

Ⅲ.（本题满分6分）选修4-5；不等式选讲

设a>0，b>0，a+b= + .证明

（ⅰ）a+b≥2；

（ⅱ）a²+a＜2与b²+b＜2不可能同时成立.

 

 

 

 

 

 

 

 

17题（本体满分12分）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA,且B为钝角。

（Ⅰ）证明：B-A=

（Ⅱ）求sinA +sinC 的取值范围。

 

 

 

 

18.（本小题满分12分）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球，5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.再摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。

（1）    求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）    若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望。

 

 

19（本小题满分13分）

  如图6，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且AA₁  底面ABCD。点P，Q分别在棱DD₁，BC上。

 （1）若P是DD₁的中点，证明AB PQ

（2）若PQ//平面ABB₁A₁,二面角P-QD-A的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积。

 

 

 

 

 

 

 

20．（本小题满分12分）

    已知抛物线 ： 的焦点F也是椭圆  ： 的一个焦点， 与 的公共弦的长为 。

       （Ⅰ）求 的方程；

       （Ⅱ）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点。且 与 同向。

       （ⅰ）若 ，求直线 的斜率；

（ⅱ）设 在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线L绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.（本小题满分13分）

已知a>0,函数 的从小到大的第n（n ）个极值点，证明：

（Ⅰ）数列{ }是等比数列；

（Ⅱ）若a ，则对一切n ， <| |恒成立。