吴玉叶2024年下期《同角三角函数的基本关系》数学教学反思

同角三角函数的基本关系（第一课时）

一、教学目标

1. 能够根据三角函数的定义及三角函数线导出同角三角函数的关系；

2. 掌握同角三角函数基本关系的常见变形，能够运用同角三角函数的基本关系求值。

二、教学重点难点

教学重点：同角三角函数的基本关系公式的推导及应用

教学难点：“同角”的理解及公式的运用

三、教法学法分析

1. 教法分析：采取诱思探究性教学法，在教学中提出问题，创设情境引导学生主动观察、思考、类比、分析、证明、总结，让学生在主动探究中汲取知识。

2. 学法分析：从学生原来的知识和能力出发，在教师的带领下通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。数学学习必须重视概念、原理、公式、法则的形成过程。

四、教学过程

1. 复习旧知识，探究新知   

设计目的：通过复习三角函数的定义和三角函数线引导学生发现同角三角函数的基本关系。

教师提出问题：（1）我们前面学习了任意角的三角函数，我们是如何定义的？

（2）我们如何利用单位圆找到三角函数线？

学生：齐声回答

教师：在学生回答的同时，利用课间展示三角函数的定义和三角函数线。并追问在Rt△OMP中正弦线MP，余弦线OM和斜边OP满足什么样的关系？

学生：开始思考。并回答：MP²+OM²=OP²=1

教师：我们知道sina=MP，cosa=OM，于是有sin²a+cos²a=1（教师注意解释sin²a=（sina）²）。然后提问，如果我们把sina=y，cosa=x代入tana=中得到什么？

学生：tana=。

2. 直观感受，理性分析

设计目的：让学生对公式有直观的感受，再进行理性的分析，加强学生对公式的同角的理解以及常见变形的掌握。

教师提问：对于上述两个公式我们先来直观感受一下。教师用几何画板展示，让学生从数据上进行直观感受公式是成立的，然后教师提问这两个公式对于任意角都是成立的吗？

学生开始思考：并回答平方关系对于任意角a都成立，商除关系中a不能等于kπ+π/2。

教师：发现部分同学有疑惑。结合图形开始分析，对于平方关系当角a的终边在各象限时在Rt△OMP中，始终满足MP²+OM²=1，即sin²a+cos²a=1，当角a终边在坐标轴上时sina和cosa的值是确定的并进行逐一验证的成立。而对于商除关系，当角a终边在y轴上时cosa=0，此时分式没有意义。教师进行板书并多媒体展示下列问题：

判断（对的打√，错的打×）

（1）对任意角a，sin²4a+cos²4a=1都成立  （    ）

（2）对任意角a，β，sin²a+cos²β=1都成立（    ）

（3）对任意角a，都成立  （    ）

 学生开始思考。

教师单独提问学生，并根据学生的回答进行点评分析，最后提醒学生注意对同角的理解有两层意思：（1）同角即角相同，与角的表现形式无关；（2）任意性，只要使函数有意义的任意一个角都能使上述公式成立。

教师：相信现在同学们已经理解了同角三角函数的基本关系，对于上述两个公式你开还可以进行哪些变形？

学生：开始动手写，并回答：sin²a=1-cos²a，cos²a=1-sin²a，（sina+cosa）²=1+2sinacosa，（sina-cosa）²=1-2sinacosa，sina=tanacosa，cosa=sina/tana。

3. 学以致用

设计目的：加强学生对公式的理解，提高学生的运算能力。

类型1 “知一求二”

例1 已知sina=，求cosa和tana。

学生很容易根据平方关系得出cos²a=16/25，此处涉及到开方要确定cosa的正负，引导学生cosa的正负取决于角a的终边，所以我们需要根据sina<0推断出角a的终边所在位置，然后进行分类讨论。最后教师用多媒体展示规范解答过程，供学生进行参考。

练习 已知tanx=-，求sinx和cosx。

给学生预留时间，学生进行练习，教师则进行巡视对需要帮助的同学给予指导或指正学生在解答时存在的错误。

类型2  sina与sinacosa的关系

例2 已知sinx+cosx=1/5，x∈(0,π)，求sinx-cosx与tanx的值。

对于例2 首先让学生将cosx=1-sinx代入平方关系中进行计算，但是计算量较大。然后，再进行提示引导学生通过将inx+cosx=1/5进行平方后，求出sinxcosx的值，然后构造出sinx-cosx进行求解，过程中要注意提醒学生分析sinx-cosx的正负。最后教师用多媒体展示规范解答过程供学生参考，让学生对两种解法进行对比，发现明显第二种方法比第一种运算量要小得多。

练习 已知sinα，cosα是方程4x²-4mx+2m-1=0的两个实根，α∈(-(π/2),0)，求m的值。

引导学生根据根与系数的关系表示出sina+cosa，和cosasina，然后学生利用刚才第二种方法可以快速求解，待学生完成得差不多后，教师提供规范解答给学生参考。

4. 方法总结

 不管是知一求二，还是 利用sina与sinacosa的关系求值，其本质都是利用同角三角函数的基本关系解方程，因此方程思想是解决类问题的关键。

5. 作业布置

课本书21页 A组第10题

五、板书设计

1. 平方关系：

2. 商除关系：

3. 常见的变形：

 sin²a=1-cos²a，cos²a=1-sin²a，

（sina+cosa）²=1+2sinacosa，（sina-cosa）²=1-2sinacosa，

sina=tanacosa，cosa=sina/tana。

六、课后反思

本节课主要存在的不足有：第一几何画板中的字太小，学生看不清楚，导致要重新板书题目给学生看从而浪费了时间，在以后的教学要充分考虑到这个问题，可以先把课件在教室里试一下；第二在例题讲解时没有板书解题过程而是用几何画板展示节奏太快导致学生反应不过来，在以后的教学中要加强这方面的意识，教师板书不仅使给学生展示规范解答同时也给学生时间进行消化。